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Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe/Lösung
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Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe
Nehmen wir an, dass es einen Ringhomomorphismus
φ
:
C
⟶
R
{\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} }
gebe. Dann wäre
φ
(
i
)
⋅
φ
(
i
)
=
φ
(
i
⋅
i
)
=
φ
(
−
1
)
=
−
1
.
{\displaystyle {}\varphi ({\mathrm {i} })\cdot \varphi ({\mathrm {i} })=\varphi ({\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} })=\varphi (-1)=-1\,.}
In
R
{\displaystyle {}\mathbb {R} }
sind aber alle Quadrate positiv und
−
1
{\displaystyle {}-1}
besitzt keine Quadratwurzel, sodass ein Widerspruch vorliegt.
Zur gelösten Aufgabe