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Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/2/Aufgabe/Lösung
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Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/2/Aufgabe
Es ist
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
x
x
+
1
x
x
+
1
+
2
=
x
x
+
2
(
x
+
1
)
=
x
3
x
+
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {\frac {x}{x+1}}{{\frac {x}{x+1}}+2}}\\&={\frac {x}{x+2(x+1)}}\\&={\frac {x}{3x+2}}.\end{aligned}}}
Es ist
h
′
(
x
)
=
3
x
+
2
−
3
x
(
3
x
+
2
)
2
=
2
(
3
x
+
2
)
2
=
2
9
x
2
+
12
x
+
4
.
{\displaystyle {}h'(x)={\frac {3x+2-3x}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}={\frac {2}{9x^{2}+12x+4}}\,.}
Es ist
f
′
(
x
)
=
x
+
1
−
x
(
x
+
1
)
2
=
1
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {x+1-x}{(x+1)^{2}}}={\frac {1}{(x+1)^{2}}}\,}
und
g
′
(
y
)
=
y
+
2
−
y
(
y
+
2
)
2
=
2
(
y
+
2
)
2
.
{\displaystyle {}g'(y)={\frac {y+2-y}{(y+2)^{2}}}={\frac {2}{(y+2)^{2}}}\,.}
Die Ableitung von
h
{\displaystyle {}h}
mit Hilfe der Kettenregel ist
h
′
(
x
)
=
g
′
(
f
(
x
)
)
⋅
f
′
(
x
)
=
2
(
x
x
+
1
+
2
)
2
⋅
1
(
x
+
1
)
2
=
2
(
x
+
2
(
x
+
1
)
)
2
=
2
(
3
x
+
2
)
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))\cdot f'(x)\\&={\frac {2}{{\left({\frac {x}{x+1}}+2\right)}^{2}}}\cdot {\frac {1}{(x+1)^{2}}}\\&={\frac {2}{(x+2(x+1))^{2}}}\\&={\frac {2}{(3x+2)^{2}}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
mit Hilfe der Kettenregel ist
