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Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/Aufgabe/Lösung
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Kettenregel/R/Rationale Funktionen/Bestätige/Aufgabe
Es ist
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
f
(
x
)
+
4
f
(
x
)
2
−
5
=
x
2
−
3
x
+
2
+
4
(
x
2
−
3
x
+
2
)
2
−
5
=
(
x
2
−
3
)
(
x
+
2
)
+
4
(
x
+
2
)
2
(
x
2
−
3
)
2
−
5
(
x
+
2
)
2
=
x
3
+
2
x
2
−
3
x
−
6
+
4
x
2
+
16
x
+
16
x
4
−
6
x
2
+
9
−
5
x
2
−
20
x
−
20
=
x
3
+
6
x
2
+
13
x
+
10
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h(x)&=g(f(x))\\&={\frac {f(x)+4}{f(x)^{2}-5}}\\&={\frac {{\frac {x^{2}-3}{x+2}}+4}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-5}}\\&={\frac {(x^{2}-3)(x+2)+4(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{2}-5(x+2)^{2}}}\\&={\frac {x^{3}+2x^{2}-3x-6+4x^{2}+16x+16}{x^{4}-6x^{2}+9-5x^{2}-20x-20}}\\&={\frac {x^{3}+6x^{2}+13x+10}{x^{4}-11x^{2}-20x-11}}.\end{aligned}}}
Die Ableitung von
h
{\displaystyle {}h}
ist nach der Quotientenregel gleich
h
′
(
x
)
=
(
x
3
+
6
x
2
+
13
x
+
10
)
′
(
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
)
−
(
x
3
+
6
x
2
+
13
x
+
10
)
(
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
)
′
(
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
)
2
=
(
3
x
2
+
12
x
+
13
)
(
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
)
−
(
x
3
+
6
x
2
+
13
x
+
10
)
(
4
x
3
−
22
x
−
20
)
(
x
4
−
11
x
2
−
20
x
−
11
)
2
=
3
x
6
+
12
x
5
−
20
x
4
−
192
x
3
−
416
x
2
−
392
x
−
143
−
4
x
6
−
24
x
5
−
30
x
4
+
112
x
3
+
406
x
2
+
480
x
+
200
x
8
+
121
x
4
+
400
x
2
+
121
−
22
x
6
−
40
x
5
−
22
x
4
+
440
x
3
+
242
x
2
+
440
x
=
−
x
6
−
12
x
5
−
50
x
4
−
80
x
3
−
10
x
2
+
88
x
+
57
x
8
−
22
x
6
−
40
x
5
+
99
x
4
+
440
x
3
+
642
x
2
+
440
x
+
121
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(x)&={\frac {(x^{3}+6x^{2}+13x+10)'(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)'}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {(3x^{2}+12x+13)(x^{4}-11x^{2}-20x-11)-(x^{3}+6x^{2}+13x+10)(4x^{3}-22x-20)}{(x^{4}-11x^{2}-20x-11)^{2}}}\\&={\frac {3x^{6}+12x^{5}-20x^{4}-192x^{3}-416x^{2}-392x-143-4x^{6}-24x^{5}-30x^{4}+112x^{3}+406x^{2}+480x+200}{x^{8}+121x^{4}+400x^{2}+121-22x^{6}-40x^{5}-22x^{4}+440x^{3}+242x^{2}+440x}}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}.\end{aligned}}}
Es ist
f
′
(
x
)
=
2
x
(
x
+
2
)
−
(
x
2
−
3
)
(
x
+
2
)
2
=
x
2
+
4
x
+
3
x
2
+
4
x
+
4
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {2x(x+2)-(x^{2}-3)}{(x+2)^{2}}}={\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\,}
und
g
′
(
y
)
=
y
2
−
5
−
(
y
+
4
)
2
y
(
y
2
−
5
)
2
=
−
y
2
−
8
y
−
5
y
4
−
10
y
2
+
25
.
{\displaystyle {}g'(y)={\frac {y^{2}-5-(y+4)2y}{(y^{2}-5)^{2}}}={\frac {-y^{2}-8y-5}{y^{4}-10y^{2}+25}}\,.}
Gemäß der Kettenregel ist somit
h
′
(
x
)
=
g
′
(
f
(
x
)
)
f
′
(
x
)
=
−
(
x
2
−
3
x
+
2
)
2
−
8
(
x
2
−
3
x
+
2
)
−
5
(
x
2
−
3
x
+
2
)
4
−
10
(
x
2
−
3
x
+
2
)
2
+
25
⋅
x
2
+
4
x
+
3
x
2
+
4
x
+
4
=
−
(
x
2
−
3
x
+
2
)
2
−
8
(
x
2
−
3
x
+
2
)
−
5
(
x
2
−
3
x
+
2
)
4
−
10
(
x
2
−
3
x
+
2
)
2
+
25
⋅
x
2
+
4
x
+
3
(
x
+
2
)
2
⋅
(
x
+
2
)
2
(
x
+
2
)
2
=
−
(
x
2
−
3
)
2
−
8
(
x
2
−
3
)
(
x
+
2
)
−
5
(
x
+
2
)
2
(
x
2
−
3
)
4
−
10
(
x
2
−
3
)
2
(
x
+
2
)
2
+
25
(
x
+
2
)
4
⋅
(
x
2
+
4
x
+
3
)
=
−
x
4
−
8
x
3
−
15
x
2
+
4
x
+
19
x
8
−
22
x
6
−
40
x
5
+
99
x
4
+
440
x
3
+
642
x
2
+
440
x
+
19
⋅
(
x
2
+
4
x
+
3
)
=
−
x
6
−
12
x
5
−
50
x
4
−
80
x
3
−
10
x
2
+
88
x
+
57
x
8
−
22
x
6
−
40
x
5
+
99
x
4
+
440
x
3
+
642
x
2
+
440
x
+
121
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(x)&=g'(f(x))f'(x)\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+4x+4}}\\&={\frac {-\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}-8\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)-5}{\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{4}-10\left({\frac {x^{2}-3}{x+2}}\right)^{2}+25}}\cdot {\frac {x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}}\cdot {\frac {(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}}\\&={\frac {-(x^{2}-3)^{2}-8(x^{2}-3)(x+2)-5(x+2)^{2}}{(x^{2}-3)^{4}-10(x^{2}-3)^{2}(x+2)^{2}+25(x+2)^{4}}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{4}-8x^{3}-15x^{2}+4x+19}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+19}}\cdot {\left(x^{2}+4x+3\right)}\\&={\frac {-x^{6}-12x^{5}-50x^{4}-80x^{3}-10x^{2}+88x+57}{x^{8}-22x^{6}-40x^{5}+99x^{4}+440x^{3}+642x^{2}+440x+121}}\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
