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Kettenregel/x^2-1 durch x und y^2 durch y-1/Bestätige/Aufgabe/Lösung
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<
Kettenregel/x^2-1 durch x und y^2 durch y-1/Bestätige/Aufgabe
a) Nach der Quotientenregel ist
f
′
(
x
)
=
2
x
x
−
(
x
2
−
1
)
x
2
=
x
2
+
1
x
2
{\displaystyle {}f'(x)={\frac {2xx-(x^{2}-1)}{x^{2}}}={\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\,}
und
g
′
(
y
)
=
2
y
(
y
−
1
)
−
y
2
(
y
−
1
)
2
=
y
2
−
2
y
y
2
−
2
y
+
1
.
{\displaystyle {}g'(y)={\frac {2y(y-1)-y^{2}}{(y-1)^{2}}}={\frac {y^{2}-2y}{y^{2}-2y+1}}\,.}
b) Es ist
g
(
f
(
x
)
)
=
(
x
2
−
1
x
)
2
x
2
−
1
x
−
1
=
(
x
2
−
1
)
2
x
(
x
2
−
1
)
−
x
2
=
x
4
−
2
x
2
+
1
x
3
−
x
2
−
x
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}g(f(x))&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}}{{\frac {x^{2}-1}{x}}-1}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}}{x(x^{2}-1)-x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}.\end{aligned}}}
c) Die Ableitung von
h
(
x
)
=
x
4
−
2
x
2
+
1
x
3
−
x
2
−
x
{\displaystyle {}h(x)={\frac {x^{4}-2x^{2}+1}{x^{3}-x^{2}-x}}\,}
ist
h
′
(
x
)
=
(
4
x
3
−
4
x
)
(
x
3
−
x
2
−
x
)
−
(
x
4
−
2
x
2
+
1
)
(
3
x
2
−
2
x
−
1
)
(
x
3
−
x
2
−
x
)
2
=
4
x
6
−
4
x
5
−
4
x
4
−
4
x
4
+
4
x
3
+
4
x
2
−
(
3
x
6
−
2
x
5
−
x
4
−
6
x
4
+
4
x
3
+
2
x
2
+
3
x
2
−
2
x
−
1
)
x
2
(
x
2
−
x
−
1
)
2
=
x
6
−
2
x
5
−
x
4
−
x
2
+
2
x
+
1
x
2
(
x
4
+
x
2
+
1
−
2
x
3
−
2
x
2
+
2
x
)
=
x
6
−
2
x
5
−
x
4
−
x
2
+
2
x
+
1
x
6
−
2
x
5
−
x
4
+
2
x
3
+
x
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}h'(x)&={\frac {{\left(4x^{3}-4x\right)}{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}-{\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)}{\left(3x^{2}-2x-1\right)}}{{\left(x^{3}-x^{2}-x\right)}^{2}}}\\&={\frac {4x^{6}-4x^{5}-4x^{4}-4x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-{\left(3x^{6}-2x^{5}-x^{4}-6x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+3x^{2}-2x-1\right)}}{x^{2}{\left(x^{2}-x-1\right)}^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{2}{\left(x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\right)}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}}
d) Es ist
g
′
(
f
(
x
)
)
f
′
(
x
)
=
(
x
2
−
1
x
)
2
−
2
x
2
−
1
x
(
x
2
−
1
x
)
2
−
2
x
2
−
1
x
+
1
⋅
x
2
+
1
x
2
=
(
x
2
−
1
)
2
−
2
(
x
2
−
1
)
x
(
x
2
−
1
)
2
−
2
(
x
2
−
1
)
x
+
x
2
⋅
x
2
+
1
x
2
=
x
4
−
2
x
2
+
1
−
2
x
3
+
2
x
x
4
−
2
x
2
+
1
−
2
x
3
+
2
x
+
x
2
⋅
x
2
+
1
x
2
=
x
4
−
2
x
3
−
2
x
2
+
2
x
+
1
x
4
−
2
x
3
−
x
2
+
2
x
+
1
⋅
x
2
+
1
x
2
=
x
6
−
2
x
5
−
x
4
−
x
2
+
2
x
+
1
x
6
−
2
x
5
−
x
4
+
2
x
3
+
x
2
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}g'(f(x))f'(x)&={\frac {{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}}{{\left({\frac {x^{2}-1}{x}}\right)}^{2}-2{\frac {x^{2}-1}{x}}+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x}{{\left(x^{2}-1\right)}^{2}-2{\left(x^{2}-1\right)}x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x}{x^{4}-2x^{2}+1-2x^{3}+2x+x^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+2x+1}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1}}\cdot {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}\\&={\frac {x^{6}-2x^{5}-x^{4}-x^{2}+2x+1}{x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
