Klausur/Durchfallquote/Aufgabe/Lösung

Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum
${}M={\left\{(i,x)\mid i=1,\ldots ,n,\,x=f,b\right\}}={\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\,$

(der erste Index ${}i$ durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten

${}P(i,f)={\frac {q_{i}}{n}}\,$

und

${}P(i,b)={\frac {1-q_{i}}{n}}\,.$

${}P(i,f)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person ${}i$ betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei ${}F$ das Ereignis, das aus allen Paaren ${}(i,f)$ besteht. Die Wahrscheinlichkeit für ${}F$ ist

${}{\begin{aligned}P(F)&=\sum _{i=1}^{n}P(i,f)\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}.\end{aligned}}$
Hierfür betrachten wir den Produktraum ${}{\{1,\ldots ,n\}}\times \{f,b\}\times \{f,b\}$ , wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist ${}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}$ . Es sei ${}F_{1}$ das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und ${}F_{2}$ das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für ${}F_{2}$ unter der Bedingung ${}F_{1}$ . Diese ist
${}{\begin{aligned}{\frac {P(F_{1}\cap F_{2})}{P(F_{1})}}&={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}q_{i}q_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}.\end{aligned}}$
Wir müssen
${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}\geq \sum _{i=1}^{n}q_{i}\,$

zeigen, was auf

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}&\geq {\frac {1}{n}}{\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\right)}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}+{\frac {2}{n}}\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

führt. Dies ist äquivalent zu

${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}\geq 2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\,$

bzw. zu

${}(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\geq 0\,.$

Nun ist aber

${}{\begin{aligned}\sum _{i<j}(q_{i}-q_{j})^{2}&=\sum _{i<j}(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}-2q_{i}q_{j})\\&=(n-1)\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}-2\sum _{i<j}q_{i}q_{j}\end{aligned}}$

als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.

Zur gelösten Aufgabe