Kommutative Algebra/Automorphismen/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein ${}K$-Algebraautomorphismus.
2. Die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ von zwei ${}K$-Algebraautomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ ist wieder ein Automorphismus.
3. Die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ zu einem ${}K$-Algebraautomorphismus ${}\varphi$ ist wieder ein Automorphismus.
4. Die Menge der ${}K$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.

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