Kommutative Algebra/Modultheorie/Adjungierte Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von ${}Adj(A)\cdot A$ berechnet:

${}{\begin{aligned}(Adj(A)\cdot A)_{ik}&=\sum _{j=1}^{n}Adj(A)_{ij}\cdot a_{jk}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (A_{ji})\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{k},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\delta _{ik}det(A).\end{aligned}}$

Es ist also

${}Adj(A)\cdot A=\operatorname {det} (A)\cdot E_{n}\,.$

Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.

Zur bewiesenen Aussage