Es sei
ein
kommutativer Ring
und
, eine Familie von
-Moduln.
Das
Produkt
-
![{\displaystyle {}M=\prod _{i\in I}M_{i}={\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf73aafeb006a5ffaa35a68180d72a2a8eb67583)
der Moduln wird mit komponentenweiser
Addition
und
Skalarmultiplikation
zum
-Modul.
Das bedeutet für
und
-
![{\displaystyle {}(x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7827bf360c889611ae11a49f7d322112cab41ba8)
und
-
![{\displaystyle {}s(x_{i})_{i\in I}=(sx_{i})_{i\in I}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434d6e41970dd23a5f345cb60144ecdc22b9989e)
heißt dann das
direkte Produkt
der
. Das
-fache direkte Produkt eines Moduls
mit sich selbst wird als
geschrieben.
Der
Untermodul
-
der aus allen
besteht, für die
für
fast alle
ist, heißt
direkte Summe
der
.
Die
-fache direkte Summe eines Moduls
mit sich selbst wird als
geschrieben.