Kommutative Algebra/Modultheorie/Entwicklungssatz/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in R^{n\times n}$.

Dann lässt sich ${}det(A)$ für ${}1\leq j\leq n$ wie folgt rekursiv berechnen:

$det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{ij})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ji}det(A_{ji}).$

Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der ${}j$-ten Spalte bzw. Zeile.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen