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Kommutative Algebra/Modultheorie/Gleichheit bei Summierung zwischen Zeilen und Spalten/Bemerkung
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Es ist
∑
σ
∈
S
n
s
g
n
(
σ
)
⋅
∏
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
a
i
,
σ
(
i
)
=
∑
σ
∈
S
n
s
g
n
(
σ
)
⋅
∏
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
a
σ
(
i
)
,
i
.
{\displaystyle {}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}\,.}
Dies ergibt sich aus
∑
σ
∈
S
n
s
g
n
(
σ
)
⋅
∏
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
a
i
,
σ
(
i
)
=
∑
σ
∈
S
n
s
g
n
(
σ
−
1
)
∏
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
a
σ
−
1
(
i
)
,
i
=
∑
σ
∈
S
n
s
g
n
(
σ
)
⋅
∏
i
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
a
σ
(
i
)
,
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma ^{-1})\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma ^{-1}(i),i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}}