Kommutative Algebra/Modultheorie/Homomorphismus/Isomorphismus/Endomorphismus/Automorphismus/Definition

Modulhomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln. Eine Abbildung ${}\varphi :M\rightarrow N$ heißt ${}R$-(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in M$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in R$ und ${}v\in M$.

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn ${}M=N$ ist, dann heißt ${}\varphi$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.