Kommutative Algebra/Modultheorie/R^m/Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt ${}R^{n}$ ist ein endlicher, freier Modul mit Rang ${}n$. Er besteht aus den ${}n$-Tupeln von Elementen aus ${}R$:

$(r_{1},\ldots ,r_{n}).$

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

$(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})$

und

$s(a_{1},\ldots ,a_{n})=(sa_{1},\ldots ,sa_{n}).$

Eine Basis

von ${}R^{n}$ bilden die Elemente

$e_{1},\ldots ,e_{n},$

wobei ${}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0$ ) so definiert ist, dass an der ${}i$-ten Stelle des Tupels eine ${}1$ steht und alle anderen Koordinaten ${}0$ sind.