Kommutative Gruppe/Schwache Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei ${}P\in G$ ein Torsionselement. Aus der zweiten Bedingung in der Definition einer schwachen Höhe ergibt sich durch Iteration

   ${}h(m^{\ell }P)\geq m^{2\ell }h(P)\,$

   für alle ${}\ell$. Bei

   ${}h(P)>0\,$

   ist die Menge rechts für variierendes ${}\ell$ und damit auch links unbeschränkt. Dies ergibt einen Widerspruch, da die von einem Torsionselement erzeugte Untergruppe endlich ist.

2. Dies folgt direkt mit der Schranke ${}S=0$ aus Teil (1).

Zur bewiesenen Aussage