Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Beweis2

Ein ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}:R[M]\rightarrow R[N]$, der mit den Monoideinbettungen kommutiert, muss ${}X^{m}$ auf ${}X^{\varphi (m)}$ schicken. Dadurch ist eindeutig ein ${}R$-Modulhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}:R[M]\rightarrow R[N]$ festgelegt. Es ist zu zeigen, dass dieser auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(X^{0})=X^{\varphi (0)}=X^{0}=1$. Ferner ist

${}{\tilde {\varphi }}(X^{m}X^{k})={\tilde {\varphi }}(X^{m+k})=X^{\varphi (m+k)}=X^{\varphi (m)+\varphi (k)}=X^{\varphi (m)}\cdot X^{\varphi (k)}={\tilde {\varphi }}(X^{m})\cdot {\tilde {\varphi }}(X^{k})\,.$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgt für zwei Elemente ${}f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und ${}g=\sum _{k\in M}a_{k}X^{k}$

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}((\sum _{m\in M}a_{m}X^{m})(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}))&={\tilde {\varphi }}(\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k})X^{\ell })\\&=\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}){\tilde {\varphi }}(X^{\ell })\\&=\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k})X^{\varphi (\ell )}\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}X^{\varphi (m)}X^{\varphi (k)}\\&=(\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)})(\sum _{k\in M}b_{k}X^{\varphi (k)})\\&={\tilde {\varphi }}(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}){\tilde {\varphi }}(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}),\end{aligned}}$

so dass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.