Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Einführung/Textabschnitt

Wir interessieren uns nun für die Frage, wann ein Monoidring ein Integritätsbereich ist (was nur bei integrem Grundring sein kann) und wie man dann den Quotientenkörper beschreiben kann. Da im Quotientenkörper jedes von ${}0$ verschiedene Element invertierbar sein muss, gilt das insbesondere für die Monome ${}T^{m}$, ${}m\in M$, und es liegt nahe, nach einer additiven Gruppe zu suchen, die ${}M$ umfasst.

Definition

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${}\Gamma (M)={\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}}\,$

mit der Addition

${}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$

und der Identifikation

$m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$

die Differenzengruppe zu ${}M$.

Wir überlassen es dem Leser als Aufgabe, zu zeigen, dass die Differenzengruppe wirklich eine Gruppe ist, siehe Aufgabe. Die vorstehende Konstruktion ist natürlich der Konstruktion von Quotientenkörpern nachempfunden, man muss nur die multiplikative Schreibweise dort additiv umdeutet. Die Konstruktion der Differenzengruppe ist eigentlich elementarer. Die Differenzengruppe zum additiven Monoid ${}\mathbb {N}$ ist natürlich ${}\mathbb {Z}$. Die Elemente in einem Monoid kann man direkt im Differenzenmonoid auffassen, und zwar durch den Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow \Gamma (M),\,m\longmapsto m-0.$

wobei wir statt ${}m-0$ einfach ${}m$ schreiben. Völlig unproblematisch ist dieser Übergang aber doch nicht, da diese Abbildung im Allgemeinen nicht injektiv sein muss. Das hat damit zu tun, dass in der obigen Definition bei der Identifizierung links und rechts ein ${}m$ auftreten darf (und das lässt sich auch nicht vermeiden). Natürlich will man auch diejenigen Monoide charakterisieren, für die man dieses Extra-${}m$ nicht braucht.

Definition

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid ${}M$ die Kürzungsregel gilt (oder dass ${}M$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

$m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,$

stets folgt, dass ${}n=k$ ist.

Für ein solches Monoid ist die Abbildung in die Differenzengruppe injektiv, siehe Aufgabe.