Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Dabei ist ${}{\mathfrak {a}}{\left(A\otimes _{R}B\right)}$ das Erweiterungsideal unter dem kanonischen Ringhomomorphismus

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1.$

Dies ist auch das Bild von ${}{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ in ${}{\left(A\otimes _{R}B\right)}$, und dieses gehört zum Kern von ${}A\otimes _{R}B\rightarrow A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$. Zum Nachweis, dass die angegebene Idealsumme der ganze Kern ist, machen wir eine Diagrammjagd. Wir gehen aus von den surjektiven ${}R$-Algebrahomomorphismen ${}A\rightarrow A/{\mathfrak {a}}$ und ${}B\rightarrow B/{\mathfrak {b}}$. Die kurzen exakten Sequenzen

$0\longrightarrow {\mathfrak {a}}\longrightarrow A\longrightarrow A/{\mathfrak {a}}\longrightarrow 0$

und

$0\longrightarrow {\mathfrak {b}}\longrightarrow B\longrightarrow B/{\mathfrak {b}}\longrightarrow 0$

ergeben nach Fakt durch verschiedene Tensorierungen das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Es sei ${}z\in A\otimes _{R}B$ ein Element, das rechts unten (in $A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B/{\mathfrak {b}}$) auf ${}0$ geht. Dann rührt das Bild ${}y$ von ${}z$ in ${}A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ von einem Element ${}x\in A/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ und dieses von einem Element ${}u\in A\otimes _{R}{\mathfrak {b}}$ her. Es sei ${}u'$ das Bild davon in ${}A\otimes _{R}B$. Dann wird ${}z-u'$ nach rechts auf ${}0$ abgebildet. Daher existiert ein ${}v\in {\mathfrak {a}}\otimes _{R}B$ mit ${}v'=z-u'$. Also ist ${}z=u'+v'$ wie behauptet.

Zur bewiesenen Aussage