Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe/Lösung

Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei ${}\varphi _{f}$ surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der ${}1$, also ein Element ${}g\in R$ mit ${}fg=1$. Dies bedeutet, dass ${}f$ eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung ${}\varphi _{f}$ ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe ${}(R,+,0)$. Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also ${}fh=0$. Dann ist aber

${}0=g(fh)=(fg)h=h\,,$

sodass der Kern nur aus einem

Element besteht.

Es sei ${}R=\mathbb {Z}$. Dann ist die Multiplikation mit ${}f=2$ injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen.

Zur gelösten Aufgabe