Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

Beweis

Sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$ und ${}q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung

${}q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$

mit ${}r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben ${}q=a/b$ mit ${}a,b\in R$, ${}b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass ${}b$ eine Einheit in ${}R$ ist, da dann ${}q=ab^{-1}$ zu ${}R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit ${}b^{n}$ und erhalten in ${}R$

${}a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$

Wenn ${}b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler ${}p$ von ${}b$. Dieser teilt alle Summanden ${}{\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für ${}i\geq 1$ und daher auch den ersten, also ${}a^{n}$. Das bedeutet aber, dass ${}a$ selbst ein Vielfaches von ${}p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

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