Kommutative Ringtheorie/Funktionenringe/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}C(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$. Dann ist durch

$\varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}X$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen ${}X$ ist ${}\varphi$ injektiv?

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