Kommutative Ringtheorie/Funktionenringe/Teilmengen und Ideal/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

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