(1)
(2). Wir betrachten die von den Potenzen von
erzeugte
-Unteralgebra
von
, die aus allen polynomialen Ausdrücken in
mit Koeffizienten aus
besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung
-

ergibt sich
-

Man kann also
durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit
kann man jede Potenz von
mit einem Exponenten
durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad
ersetzen. Damit ist
-
![{\displaystyle {}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8fda0405f5312385570481aadfbcda5d26fdd9)
und die Potenzen
bilden ein endliches Erzeugendensystem von
.
(2)
(3). Sei
,
eine
-Unteralgebra, die als
-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist
,
und
enthält den Nichtnullteiler
.
(3)
(1). Sei
ein endlich erzeugter
-Untermodul mit
.
Es seien
erzeugende Elemente von
. Dann ist insbesondere
für jedes
eine
-Linearkombination der
. Dies bedeutet
-

mit
,
oder, als Matrix geschrieben,
-

Dies schreiben wir als
-

Nennen wir diese Matrix
(die Einträge sind aus
),
und sei
die
adjungierte Matrix.
Dann gilt
(
bezeichne den Vektor
)
und
nach der Cramerschen Regel
ist
,
also gilt
.
Es ist also
für alle
und damit
-

für alle
.
Da
nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss
sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in
vom Grad
, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.