Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}f\in L$. Nach Voraussetzung ist ${}L$ endlich über ${}K$. Daher erfüllt ${}f$ eine Ganzheitsgleichung der Form

${}f^{n}+q_{n-1}f^{n-1}+\cdots +q_{1}f+q_{0}=0\,$

mit ${}q_{i}\in K$. Sei ${}r\in R$ ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller ${}q_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n-1$. Multiplikation mit ${}r^{n}$ ergibt dann

${}(rf)^{n}+q_{n-1}r(rf)^{n-1}+\cdots +q_{1}r^{n-1}(rf)+q_{0}r^{n}=0\,.$

Dies ist eine Ganzheitsgleichung für ${}rf$, da die Koeffizienten ${}q_{n-i}r^{i}$ nach Wahl von ${}r$ alle zu ${}R$ gehören. Damit ist ${}rf\in S$, da ${}S$ der ganze Abschluss ist. Somit zeigt ${}f={\frac {rf}{r}}$, dass ${}f$ als ein Bruch mit einem Zähler aus ${}S$ und einem Nenner aus ${}R\subseteq S$ darstellbar ist, also im Quotientenkörper ${}Q(S)$ liegt.

Zur bewiesenen Aussage