Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung ${}a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette ${}a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei ${}a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von ${}a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

${}(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage