Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt mit Beweisklappe
Es sei ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .
Beweis
Sei das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element mit . Wir behaupten, dass ein größter gemeinsamer Teiler der ist. Die Inklusionen zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ein weiterer gemeinsamer Teiler der . Dann ist wieder , was wiederum bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus .
Im teilerfremden Fall ist .