Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis

Sei $I=(a,b)$ das von den Elementen $a$ und $b$ erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I=(d)$. Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist. Die Inklusionen $(a),(b)\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$. Dann ist $(a)\subseteq (e)$ und $(b)\subseteq (e)$, also insgesamt $(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum $e\,|\,d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d\in I=(a,b)$.

Im teilerfremden Fall ist $I=(a,b)=R$.