Kommutative Ringtheorie/Ideal/Einführung/Textabschnitt


Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .

Die Eigenschaft kann man durch die Bedingung ersetzen, dass nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.


Zu einer Familie von Elementen in einem kommutativen Ring bezeichnet das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen

wobei sind.


Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.

Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte Nullideal, was wir einfach als schreiben. Die und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.


Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.

In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale.


Es sei ein kommutativer Ring.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein Körper.
  2. Es gibt in genau zwei Ideale.

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Es sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Es sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , sodass eine Einheit ist.