Kommutative Ringtheorie/Ideal mit nur einem einzigen maximalen Oberideal/Restklassenring direkt und nach Lokalisierung/Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subset R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ${}R/{\mathfrak {a}}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {m}}$ ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}\cong R_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}R_{\mathfrak {m}}$ für jedes ${}n$ gilt.

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