Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal und ${}f\in R/{\mathfrak {a}}$ nilpotent. Dann ist ${}f^{r}=0$ in ${}R/{\mathfrak {a}}$. Zurückübersetzt nach ${}R$ bedeutet dies ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Da ein Radikal vorliegt, ist ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und damit ${}f=0$ im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.

Es sei umgekehrt ein Ideal

${}{\mathfrak {a}}\subseteq R\,$

mit reduziertem Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ gegeben. Es sei ${}f^{r}\in {\mathfrak {a}}$. Dann ist die Restklasse von ${}f^{r}$ gleich ${}0$. Wegen der Reduziertheit ist bereits ${}f=0$.

Dies bedeutet ${}f\in {\mathfrak {a}}$, also ist das Ideal ein Radikal.

Zur gelösten Aufgabe