Kommutative Ringtheorie/K-Spektrum/Multiplikatives System und topologischer Filter/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ und sei ${}S$ ein multiplikatives System in ${}R$. Zu ${}S$ definieren wir

${}F(S)={\left\{U\subseteq K-\operatorname {Spek} \,(R){\text{ offen}}\mid {\text{ es gibt }}f\in S{\text{ mit }}D(f)\subseteq U\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}F=F(S)$ ein topologischer Filter ist. Zeige ferner, dass es einen Ringhomomorphismus

$R_{S}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{F}$

gibt, der eine Isomorphie ist, falls ${}K$ algebraisch abgeschlossen und ${}R$ reduziert ist.

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