Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt

Für einen kommutativen Ring ${}R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist noethersch.
2. Jede aufsteigende Idealkette

   ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

   wird stationär, d.h. es gibt ein ${}n$ mit ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen