Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Irreduzibles Polynom als irreduzibles Element/Beispiel

Ein nichtkonstantes Polynom ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]$, wobei ${}K$ einen Körper bezeichne, ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Produktdarstellung ${}P=QR$ gibt, die die Gradbedingung

${}0<\operatorname {grad} \,(Q)<\operatorname {grad} \,(P)\,$

erfüllt.