Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad und Grad in X/Beispiel

Das Polynom

${}F=4X^{3}YZ^{2}+2X^{2}Y^{5}+5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+X^{8}-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+X+5\,$

hat den Grad ${}9$ und die homogenen Komponenten sind

${}F_{9}=5XYZ^{7}-3X^{4}YZ^{4}+2Y^{6}Z^{3}\,,$

${}F_{8}=X^{8}\,,$

${}F_{7}=2X^{2}Y^{5}-Y^{7}\,,$

${}F_{6}=4X^{3}YZ^{2}\,,$

${}F_{5}=F_{4}=F_{3}=F_{2}=0\,,$

$F_{1}=X{\text{ und }}F_{0}=5.$

Wenn man es als Polynom in ${}(K[Y,Z])[X]$ auffasst und sich nur dafür interessiert, in welcher Potenz ${}X$ vorkommt, so spricht man vom ${}X$-Grad. Der ${}X$-Grad von ${}F$ ist ${}8$. Es gibt natürlich auch eine homogene Zerlegung entlang der ${}X$-Graduierung; dabei ist beispielsweise die Komponente zum ${}X$-Grad ${}0$ gleich ${}-Y^{7}+2Y^{6}Z^{3}+5$ und zum ${}X$-Grad ${}1$ gleich ${}5XYZ^{7}+X$.