Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Q(R/{\mathfrak {p}})&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow &&\\R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von Ringhomomorphismen, wobei ${}\varphi$ und ${}\psi$ zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$

wird das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ auf ${}0$ abgebildet, der Ringhomomorphismus ${}\varphi$ ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter ${}\varphi$ werden Elemente ${}[r]\in R/{\mathfrak {p}}$, ${}[r]\neq 0$, die also durch ${}r\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Fakt eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper

$\psi \colon Q(R/{\mathfrak {p}})\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.$

Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ durch ${}r/s$ mit ${}s\notin {\mathfrak {p}}$ repräsentiert wird, wird unter ${}\psi$ durch das Element ${}[r]/[s]$ getroffen (beachte ${}[s]\neq 0$).

Zur bewiesenen Aussage