Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Ringhomomorphismen, wobei und zu konstruieren sind. Unter dem Ringhomomorphismus

wird das Primideal auf abgebildet, der Ringhomomorphismus ergibt sich als induzierter Homomorphismus. Unter werden Elemente , , die also durch repräsentiert werden, auf Einheiten abgebildet. Somit gibt es nach Fakt eine Fortsetzung auf den Quotientenkörper

Diese ist als Ringhomomorphismus zwischen Körpern injektiv. Ein Element des Restekörpers, das in der Lokalisierung durch mit repräsentiert wird, wird unter durch das Element getroffen (beachte ).