Zu einem
Integritätsbereich
ist der Quotientenkörper
als die Menge der formalen Brüche
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![{\displaystyle {}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402b29c535064c206dd79647f9482fb1da4501f2)
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die
(Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel
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![{\displaystyle {}{\frac {r}{s}}={\frac {tr}{ts}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f320547222670eb44091875fe31c3c43b1df0a)
(
).
Für die Operationen gelten
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![{\displaystyle {}{\frac {r}{s}}+{\frac {t}{u}}={\frac {ru+ts}{su}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e4f447c55d0f3d4682fa6def90ccb60af4ba1c)
(auf einen Hauptnenner bringen)
und
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![{\displaystyle {}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {t}{u}}={\frac {rt}{su}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaf3ed802d1b1725eecce12c108d7a5c47cef9d)
Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element
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![{\displaystyle {}{\frac {r}{s}}\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a762c2dea459f0831359713118b9210407b1ac84)
ist
das Inverse.
Der Integritätsbereich
findet sich in
über die Elemente
wieder. Diese natürliche Inklusion
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![{\displaystyle {}R\subseteq Q(R)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20697ec1bff3e7030bb529c303279a953cb810e4)
ist ein Ringhomomorphismus. Das Element
hat bei
das Inverse
. Zwischen
und
gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu
das
(eindeutig bestimmte)
Inverse
enthalten und dann aber auch alle Produkte
.