Zu einem
Integritätsbereich
ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche
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mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die
(Erweiterungs- bzw. Kürzungs)-Regel
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().
Für die Operationen gelten
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(auf einen Hauptnenner bringen)
und
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Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element
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ist das Inverse.
Der Integritätsbereich findet sich in über die Elemente wieder. Diese natürliche Inklusion
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ist ein Ringhomomorphismus. Das Element hat bei das Inverse . Zwischen und gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu das
(eindeutig bestimmte)
Inverse enthalten und dann aber auch alle Produkte
.