Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Einheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\overline {a}}\,$ eine Einheit im Restklassenring ${}R/I$. Dies ist genau dann der Fall, wenn es ein ${}r\in R$ gibt mit

${}{\overline {a}}\,{\overline {r}}\,={\overline {1}}\,\,.$

Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}R$, dass

$ar-1\in I$

ist, was wiederum äquivalent dazu ist, dass ${}I$ und ${}(a)$ zusammen das Einheitsideal erzeugen.

Zur bewiesenen Aussage