Es sei
Wegen φ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {}\varphi (0)=0} . ist 0 ∈ I {\displaystyle {}0\in I} . Es seien a , b ∈ I {\displaystyle {}a,b\in I} . Das bedeutet φ ( a ) = 0 {\displaystyle {}\varphi (a)=0} und φ ( b ) = 0 {\displaystyle {}\varphi (b)=0} . Dann ist
und daher a + b ∈ I {\displaystyle {}a+b\in I} .
Es sei nun a ∈ I {\displaystyle {}a\in I} und r ∈ R {\displaystyle {}r\in R} beliebig. Dann ist
also ist