Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Verschiedene Eigenschaften/Fakt

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$.
4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$.
5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

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