Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl

die Eigenschaft

besitzt. Wir multiplizieren mit und erhalten in die Gleichung

Wegen Fakt besitzt diese Zahl, nennen wir sie , eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der -Exponent davon zu jeder Primzahl eindeutig bestimmt. Sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der -Exponent von kein Vielfaches von ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der -Exponent von kein Vielfaches von , von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.