Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl

${}q={\frac {a}{b}}\,$

die Eigenschaft

${}q^{k}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{k}={\frac {a^{k}}{b^{k}}}=n\,$

besitzt. Wir multiplizieren mit ${}b^{k}$ und erhalten in ${}\mathbb {N}$ die Gleichung

${}a^{k}=b^{k}\cdot n\,.$

Wegen Fakt besitzt diese Zahl, nennen wir sie ${}z$, eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der ${}p$-Exponent davon zu jeder Primzahl ${}p$ eindeutig bestimmt. Es sei ${}p$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der ${}p$-Exponent von ${}n$ kein Vielfaches von ${}k$ ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der ${}p$-Exponent von ${}z$ kein Vielfaches von ${}k$, von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.

Zur bewiesenen Aussage