Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über . Bei ist der Operator die Multiplikation mit einem Element , das auf die Abbildung induziert, was die Multiplikation mit ist.

Es sei nun ein Differentialoperator auf der Ordnung . Die Einschränkung sei mit bezeichnet. Es sei . Dann ist für einerseits

und andererseits

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass -linear ist. Daher ist die Lie-Klammer von mit der Multiplikation mit die Einschränkung der Lie-Klammer, also nach der Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung .