Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}k,m,n$ ganze Zahlen und ${}x,y\in R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}nx$ (also die ${}n$-fache Summe von ${}x$ mit sich selbst) gleich ${}(1+\cdots +1)\cdot x$, wobei links die ${}n$-fache Summe der ${}1\in R$ mit sich selbst steht.
2. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ ist ${}-n$ (also die ${}n$-fache Summe des Negativen von ${}1$ mit sich selbst) gleich dem Negativen (in ${}R$) von ${}n=1+\cdots +1$.
3. Es ist

   ${}(m+k)x=mx+kx\,.$

4. Es ist

   ${}k(x+y)=kx+ky\,.$

5. Es ist

   ${}(km)x=k(mx)\,.$

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