Kommutativer Ring/Hopf-Algebra/Definition

Kommutative Hopf-Algebra

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${}K$-Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$-Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

$\epsilon \colon H\longrightarrow K$

und

$S\colon H\longrightarrow H$

gibt, derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.