Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe/Lösung

Wegen der Quasikompaktheit können wir annehmen, dass ${}I$ endlich ist und wir wissen nach Fakt  (9), dass die ${}f_{i}$ das Einheitsideal erzeugen. Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, ein Idealerzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$. Dieses System ist auch, aufgefasst in ${}R_{f_{i}}$, ein ${}R_{f_{i}}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}R_{f_{i}}$. Dabei genügt jeweils ein endliches Teilsystem. Es gibt also ein endliches Teilsystem ${}a_{j}$, ${}j\in J_{0}$, das in den Nenneraufnahmen zu einem Erzeugendensystem wird. Wir behaupten, dass dies schon selbst ein Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {a}}$ ist. Es sei also ${}b\in {\mathfrak {a}}$. Dann gibt es für jedes ${}i$ eine Gleichung

${}b=\sum _{j\in J_{0}}{\frac {c_{ij}}{f_{i}^{n_{ij}}}}a_{j}\,$

in ${}R_{f_{i}}$ bzw. zurückübersetzt nach ${}R$ eine Gleichung der Form

${}f_{i}^{m_{i}}b=\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\,.$

Es gibt eine Darstellung der ${}1$ der Form ${}\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}=1$. Somit ist

${}{\begin{aligned}b&=b{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m_{i}}\right)}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}bf_{i}^{m_{i}}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}{\left(\sum _{j\in J_{0}}d_{ij}a_{j}\right)}\\&=\sum _{j\in J_{0}}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}d_{ij}\right)}a_{j},\end{aligned}}$

was bedeutet, dass sich ${}b$ als Linearkombination der ${}a_{j}$, ${}j\in J_{0}$,

schreiben lässt.

Zur gelösten Aufgabe