Kommutativer Ring/Ideal/Endlich erzeugt/Überdeckungstest/Aufgabe/Lösung


Wegen der Quasikompaktheit können wir annehmen, dass endlich ist und wir wissen nach Fakt  (9), dass die das Einheitsideal erzeugen. Es sei , , ein Idealerzeugendensystem von . Dieses System ist auch, aufgefasst in , ein -Erzeugendensystem von . Dabei genügt jeweils ein endliches Teilsystem. Es gibt also ein endliches Teilsystem , , das in den Nenneraufnahmen zu einem Erzeugendensystem wird. Wir behaupten, dass dies schon selbst ein Erzeugendensystem von ist. Es sei also . Dann gibt es für jedes eine Gleichung

in bzw. zurückübersetzt nach eine Gleichung der Form

Es gibt eine Darstellung der der Form . Somit ist

was bedeutet, dass sich als Linearkombination der , ,

schreiben lässt.