Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Direkt/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}I,J\subseteq R$ Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon R/I\cap J\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r,r),$

und

$\psi \colon R/I\times R/J\longrightarrow R/I+J,\,(s,t)\longmapsto s-t.$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, dass ${}\psi$ surjektiv ist und dass

${}\operatorname {bild} \varphi =\operatorname {kern} \psi \,$

ist. Sind ${}\varphi$ und ${}\psi$ Ringhomomorphismen?

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