Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt/Beweis
Beweis
Dass freie Moduln projektiv sind wurde in Fakt bewiesen. Es sei also projektiv. Es sei ein minimales Erzeugendensystem von und sei
der zugehörige surjektive Modulhomomorphismus. Wegen der Minimalität ist
eine -lineare bijektive Abbildung. Wegen der Projektivität gibt es einen Modulhomomorphismus mit . Dann ist
mit und wobei wir mit identifizieren. Wir betrachten nun
und die induzierten -linearen Abbildungen
Hierbei ist sowohl die Abbildung links als auch die Gesamtabbildung bijektiv. Daher muss sein. Aus Fakt folgt und somit ist frei.