Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$

Diese Menge enthält das Nullideal ${}0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf ${}M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei ${}N\subseteq M$ eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

${}I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$

Man zeigt nun, dass ${}I$ ein Ideal ist, das nicht die ${}1$ enthält. Also gehört es zu ${}M$ und es bildet eine obere Schranke für ${}N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in ${}M$, und dies sind maximale Ideale.

Zur bewiesenen Aussage