Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation

${\mathfrak {a}}^{d}\times {\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M,\,(f,v)\longmapsto fv,$

die wegen ${}{\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d+n}M$ wohldefiniert ist. Wegen ${}{\mathfrak {a}}^{d+1}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n+1}M={\mathfrak {a}}^{d+n+1}M$ induziert dies eine Abbildung

${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times {\mathfrak {a}}^{n}M/{\mathfrak {a}}^{n+1}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M/{\mathfrak {a}}^{d+n+1}M,\,([f],[v])\longmapsto [fv].$

Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung

$\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M,$

die ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ zu einem graduierten ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.

Ein Erzeugendensystem von ${}M/{\mathfrak {a}}M$ ergibt direkt ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.

Zur bewiesenen Aussage