Kommutativer Ring/Modul/Injektiver Modul/Fakt/Beweis

Beweis

Für die kommutative Gruppe ${}M$ gibt es nach Fakt eine divisible Gruppe ${}D$ und eine Einbettung ${}M\subseteq D$. Nach Fakt ist ${}D$ ein injektiver ${}\mathbb {Z}$-Modul. Nach Fakt ist dann auch der ${}R$-Modul ${}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&D&\\\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,M\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch ${}v\mapsto (r\mapsto rv)$ gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind ${}R$-Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein ${}R$-Untermodul ${}M\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }{\left(R,D\right)}$ vor.

Zur bewiesenen Aussage