Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Ringerelement ${}n_{R}$ zuordnen kann, so dass ${}0_{R}$ das Nullelement in ${}R$ und ${}1_{R}$ das Einselement in ${}R$ ist und so dass

${}(n+1)_{R}=n_{R}+1_{R}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{R}=n_{R}+m_{R}{\text{ und }}(nm)_{R}=n_{R}\cdot m_{R}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

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