Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung ist nach Aufgabe wohldefiniert. Zur Stetigkeit ist die Aussage (2) zu zeigen. Wir argumentieren mit den abgeschlossenen Mengen. Für ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ist ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})\in V({\mathfrak {a}})$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \varphi ^{-1}({\mathfrak {q}})$ ist. Dies ist äquivalent zu ${}\varphi ({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {q}}$ und ebenso zu ${}{\mathfrak {a}}S\subseteq {\mathfrak {q}}$. (3) ist klar.

Zur bewiesenen Aussage