Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}d$, bei ${}d=0$ liegt ein minimales Primideal (über ${}0$) vor. Sei ${}d\geq 1$ und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ die minimalen Primideale von ${}R$, die in ${}{\mathfrak {p}}$ enthalten sind. Dann gibt es nach Fakt ein

${}f\in {\mathfrak {p}}\setminus \bigcup _{j=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{j}\,.$

Wir betrachten das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R/(f)$. Da in ${}R/(f)$ nach Konstruktion die minimalen Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ nicht überleben, besitzt ${}{\mathfrak {p}}$ dort eine Höhe ${}\leq d-1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente ${}g_{1},\ldots ,g_{d-1}\in R/(f)$, über denen ${}{\mathfrak {p}}$ minimal ist. Es seien ${}f_{j}$ Repräsentenaten der ${}g_{j}$. Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ minimal über ${}f_{1},\ldots ,f_{d-1},f$.

Zur bewiesenen Aussage